Contoh Makalah Matematika Yang Baik dan Benar

Contoh Makalah Matematika Yang Baik dan Benar – Matematika adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang ketat diturunkan dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.

Contoh Makalah Matematika Yang Baik dan Benar

matematika

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Dalam materi persamaan dan fungsi kuadrat terdapat 3 indikator, yaitu :

  1. Membentuk persamaan kuadrat yang diketahui sifat – sifat akarnya.
  2. Menentukan fungsi kuadrat yang diketahui satu titik dan titik puncaknya.
  3. Mencari titik ekstrim dan sumbu simetri fungsi kuadrat.
  1. Persamaan Kuadrat
  2. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat.

               Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variable atau peubah x adalah sebagai berikut :

ax2 + bx +c = 0

     dengan a, b, c bilangan real, dan a ¹ 0.

     a disebut koefisien x2, b koefisien x, dan c disebut konstanta.

  1. Membentuk persamaan kuadrat yang diketahui sifat – sifat akarnya.
  2. Sifat – Sifat Akar Persamaan Kuadrat.

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya. Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

Maka x1 =                        maka x2 =

Sehingga didapat hubungan :

                 x1 + x2  =

   x1 .  x2  =

 Bentuk diatas dikenal sebagai sifat akar pada persamaan kuadrat.

  1. Cara Menyusun Persamaan Kuadrat

 Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 dan x2 adalah :

 ( xx1 )  . ( xx2 ) = 0 atau x2 – ( x1 + x2 )x + ( x1 . x2 ) = 0.

               Contoh soal :

  • Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya -3 dan 1/3.

Jawab :

( xx1 ) . ( xx2 ) = 0

( x – (-3)) . ( x – 1/3 ) = 0

( x + 3 )  . ( x – 1/3 ) = 0

x2 – 1/3 x + 3x – 1 = 0

x2 – 2 2/3 x – 1 = 0

x2 – 8/3 x – 1 = 0

  • Jika akar – akar persamaan kuadrat 2x2x -5 = 0 adalah p dan q, maka persamaan juadrat yang akar – akarnya ( p -1) dan (q -1) adalah

Jawab :

2x2x – 5 = 0;  a = 2, b = -1, c = -5

Maka :

p + q = -b / a = – (-1) /2 = 1/2  dan  p . q = c / a = -5 / 2

Sehingga :

(  p – 1 ) + ( q – 1 ) = ( p + q ) – 2

          =  1/2 – 2

          = -3 / 2

   ( p – 1) ( q – 1 ) = pqpq + 1

                                         = pq – ( p + q ) + 1

                                         = -5/2 – (1/2) + 1

                                         = -2

   Jadi persamaan kuadratnya adalah :

   x2 – ( x1 + x2 ) x + ( x1 . x2 ) = 0.

   x2 – ((  p – 1 ) + ( q – 1)) x + (( p – 1) ( q – 1 )) = 0.

   x2 – ( -3/2 ) x + ( -2 ) = 0.

   x2 + 3/2 x -2 = 0.

   2x2 + 3x – 4 = 0.

  1. Fungsi Kuadrat
  2. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi yang mempunyai variable dengan pangkat tertinggi dua disebut fungsi kuadrat. Bentuk umumnya :

F(x) = ax2 + bx + c ; a, b, c, є bilangan real dan a ≠ 0.

Contoh : a) f(x) = x2 – 4

  1. b) f(x) = 2x2 + 5x + 6
  2. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Diketahui 1 Titik dan Titik Puncaknya.

Jika fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c mempunyai titik puncak P (xp , yp), maka fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

Y = a(xxp)2 + yp 

Selanjutnya untuk menentukan nilai a, kita subtitusikan nilai x dan y dari suatu titik lain yang dilalui grafik fungsi kuadrat ke persamaan diatas.

Contoh soal :

  • Tentukan rumus fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak P (2, -1) serta melalui titik A ( 0,3).

Jawab :

Dengan menggunakan rumus di atas untuk xp = 2 dan yp = -1, maka diperoleh:

Y = a(xxp)2 + yp

Y = a(x – 2)2 – 1

Karena grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik A( 0, 3), maka:

3 = a (0 – 2)2 – 1

3 = 4a – 1

3 + 1 = 4a

4 = 4a

A = 1

Sehingga diperoleh:

Y = 1 (x – 2)2 – 1

Y = (x – 2) (x – 2) – 1

Y = x2 – 4x + 4 – 1

Y = x2 – 4x + 3

  1. Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabol (seperti gambar di atas) dapat menghadap ke bawah atau ke atas. Grafik itu mempunyai sumbu simetri yaitu l, dan titik puncak P. Titik puncak disebut juga titik balik .

            Jika grafik fungsi y = ax2 + bx +c dipotongkan dengan sumbu x, yang berarti y = 0, maka diperoleh ax2 + bx +c = 0. Jika grafik fungsi berpotongan di A (x1, 0) dan B (x2, 0), maka x adalah akar – akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Dikatakan pula bahwa x1 dan xadalah pembuat nol fungsi f(x) = ax2 + bx +c.

Garis l adalah sumbu simetri, yang berarti melalui tengah – tengah AB, sehingga persamaannya adalah  = .  Titik P diperoleh dengan memotongkan garis x = -b/2a dengan kurva y = ax2 + bx +c.

y = -b/2a dan y = ax2 + bx +c , maka :

y = a (-b/2a)2 + b(-b/2a) + c

                           = b2 – 2b2 + 4ac / 4a = – b2 – 4ac / 4a = -D/4a.

Jadi koordinat titik puncak adalah P ( -b/2a , -D/4a ).

Karena terdapat dua akar yaitu x1 dan x2, maka pasti D > 0. Ini berarti jika a > 0, maka (-D/4a) < 0, dan jika a < 0, maka (-D/4a) > 0. Dengan kata lain, jka a > 0 maka grafik menghadap keatas, dan jika a < 0, maka grafik menghadap ke bawah.

Jika grafik menghadap ke atas maka titik puncaknya adalah titik puncak minimum, dan jika grafiknya menghadap ke bawah, maka titik puncaknya adalah titik puncak maksimum. Dengan demikian, berlaku sifat berikut :

Pada fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx +c dengan a ≠ 0

  1. Grafiknya berbentuk parabola
  2. Bila a > 0 grafik menghadap keatas.
  3. Bila a < 0 grafik menghadap ke bawah.
  4. Persamaan sumbu simetri x =
  5. Koordinat titik puncak P , .

            Titik ekstrim disebut juga titik puncak, yaitu: P  , .

            Contoh soal:

  • Tentukan sumbu simetri dan titik puncak maksimum dari persamaan f(x) = – x2 + 8x – 12!

 Jawab:

      a = -1 < 0 → membuka ke bawah, punya titik puncak maksimum.

      D = b2 – 4ac

          = 82 – 4(-1) (-12)

          = 64 – 48 = 16

       Titik potong dengan sumbu x, berarti f(x) = 0

       f(x) = 0 → – x2 + 8x – 12 = 0

                    → x2 – 8x + 12 = 0

                    → (x – 6) (x – 2) = 0

                    → x = 6; x = 2

        Jadi titik potong dengan sumbu x adalah M (6, 0) dan N (2, 0)

        Titik potong dengan sumbu Y berarti x = 0

        X = 0 → f(x) = – 02 + 8 . 0 – 12 = – 12

        Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah P = (0, 12)

        Persamaan sumbu simetri: x =   =   = 4

        Titik puncak:   = 4

                                             =   = 4

        Jadi, titik puncak maksimumnya adalah G (4, 4)

  1. LATIHAN SOAL
  1. Hitunglah persamaan kuadrat yang akar – akarnya mempunyai jumlah 2/3 dan hasil kalinya 5!
  2. Akar – akar persamaan kuadrat x2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x Hitunglah persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 + x2 dan x1 . x2!
  3. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di titik (3, 2) dan melalui titik (2, 4) adalah…….
  4. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut ini!

F(x) = x2 – 2x – 8

  1. Jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan 3x2 – 6x + 3 = 0 adalah ?

DAFTAR PUSTAKA

Abdurahman, Maman. 2006. Intisari Matematika SMA IPA : Ringkasan Materi Lengkap Disertai Contoh Soal – Jawab dan Soal – Soal Latihan UNAS. Kurikulum Berbasis Kompetensi, Penerbit CV PUSTAKA SETIA.

Kuncoro Priyo dan Ihsanudin. 2008. Panduan Praktis Siap Uji Menghadapi UN SPMB IPA SMA. Penerbit ERLANGGA.

Foster, Bob. 2006. 1001 Plus Soal dan Pembahasan Matematika Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru. Penerbit ERLANGGA.

Alders, C.J. dan Ir. Bahar. 1987.  Ilmu Aljabar 2. Penerbit PT. Pradnya Paramita.

            Johanes. Kastolan. Sulasim. 2003. Kompetensi Matematika untuk Kelas 1 SMA Semester Pertama. Penerbit Yudhistira.

www.belajar-matematika.com

httpcom.umy.ac.idelschoolmuallimin_muhammadiyahfile.php1materiMatematikaPERSAMAAN%20DAN%20FUNGSI%20KUADRAT%20-%202%5B1%5D.pdf

Sekian informasi yang dapat kami sampaikan pada kesempatan kali ini mengenai Makalah Matematika. Semoga bermanfaat dan bisa menjadi referensi bagi sahabat semua.

Contoh Makalah Matematika Yang Baik dan Benar | nagrak.com | 4.5
error: Content is protected !!