Pengertian Tentang Induksi Matematika

Pengertian Tentang Induksi Matematika – Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. Meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

Untuk membuktikan apakah pernyataan ini bernilai benar atau tidak untuk semua bilangan asli, ada dua langkah yang dilakukan, yaitu:
Jika benar, dan
Jika benar yang mengakibatkan juga benar,
Maka bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

Misalkan akan dibuktikan suatu pernyataan bahwa jumlah n bilangan asli pertama, yaitu 1+2+:::+n, adalah sama dengan .Untuk membuktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli, langkah- langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Cara Biasa / Basis
Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah = 1. Jadi pernyataan tersebut adalah benar untuk n = 1. Untuk n =1, Ruas kiri = 1 Sedangkan Ruas kanan = 1 Kerena ruas kiri = ruas kanan, maka persamaan benar untuk n=1.

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1.
Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Prinsip Induksi Matematika

Defenisi lain dari Induksi matematika (mathematical induction) adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Akan tetapi sebelum membahas mengenai induksi matematika, kita akan membahas suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut.

Setelah mengingat mengenai himpunan bilangan asli, sekarang perhatikan prinsip terurut rapi dari bilangan asli berikut.

1. Prinsip Terurut Rapi Bilangan Asli

Setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil. Secara lebih formal, prinsip tersebut menyatakan bahwa untuk setiap himpunan tidak kosong V yang merupakan himpunan bagian dari N, maka ada v0 anggota V sedemikian sehingga v0 ≤ v untuk setiap v anggota V.

Berdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N. Adapun Prinsip Induksi Matematika: Misalkan S adalah himpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:

1. S memiliki anggota bilangan 1; dan
2. Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S.
Maka diperoleh S = N.

Sebelum membuktikan prinsip induksi matematika di atas secara formal, kita akan mencoba memahaminya dengan menggunakan efek domino seperti berikut.

1. Gambar (a) di atas kita melihat sebaris 4 domino pertama yang ditata rapi dengan jarak antara masing-masing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino.

2. Sehingga, jika kita mendorong domino nomor k ke kanan, maka domino tersebut akan merebahkan domino nomor (k + 1). Proses ini ditunjukkan oleh gambar (b). Kita tentu akan berpikir bahwa apabila proses ini berlanjut, maka domino nomor (k + 1) tersebut juga akan merebahkan domino di sebelah kanannya, yaitu domino nomor (k + 2), dan seterusnya.

3. Bagian gambar (c) menggambarkan bahwa dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi dari bilangan 1 menjadi anggota himpunan S. Hal ini merupakan langkah dasar dari proses efek domino. Selanjutnya, jika k anggota S akan menyebabkan (k + 1) anggota S, akan memberikan langkah induktif dan melanjutkan proses perebahan domino. Sehingga, pada akhirnya kita akan melihat bahwa semua domino akan rebah. Atau dengan kata lain, domino yang memiliki nomor urut semua bilangan asli akan rebah. Hal ini merupakan analogi dari S = N.

Bagaimana dengan bukti formal dari prinsip induksi matematika?

Bukti Andaikan S ≠ N. Maka himpunan N – S bukan merupakan himpunan kosong, sehingga berdasarkan prinsip terurut rapi, himpunan tersebut memiliki anggota terkecil m. Karena 1 anggota S (berdasarkan hipotesis 1), maka m > 1. Tetapi hal ini akan mengakibatkan bahwa m – 1 juga merupakan bilangan asli. Karena m – 1 < m dan m adalah anggota terkecil dari N – S, maka m – 1 anggota S.

Sekarang kita akan menggunakan hipotesis 2 bahwa k = m – 1 merupakan anggota S, maka k + 1 = (m – 1) + 1 = m juga anggota S. Akan tetapi pernyataan ini akan kontradiksi bahwa m bukan anggota S. Sehingga N – S adalah himpunan kosong atau dengan kata lain N = S.
Selain diformulasikan seperti di atas, Prinsip Induksi Matematika juga dapat dinyatakan sebagai berikut. Untuk setiap n anggota N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n. Apabila:

  • P(1) benar.
  • Untuk setiap k anggota N, jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar.
    Maka P(n) benar untuk setiap n anggota N.

2. Prinsip Induksi Matematika (versi kedua)

Misalkan n0 anggota N dan misalkan P(n) merupakan pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥ n0. Apabila:

(1) Pernyataan P(n0) benar;
(2) Untuk setiap k ≥ n0, jika P(k) benar mengakibatkan P(k + 1) benar.

Maka P(n) benar untuk semua n ≥ n0.
Berikut ini adalah contoh yang menunjukkan bagaimana Induksi Matematika dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan tentang bilangan asli. Contohnya Pengubinan dengan Tromino.

Diberikan suatu papan catur 2n × 2n (n > 0), dengan salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan, buktikan bahwa papan catur tersebut dapat ditutup sempurna dengan tromino. (Tromino adalah gambar yang terdiri dari 3 persegi yang sisinya saling bersinggungan, tetapi 3 persegi tersebut tidak dalam satu barisan yang berjajar). Bukti Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 karena secara jelas papan catur 21 × 21 yang salah satu persegi bagian pojok dihilangkan memiliki bentuk yang sama dengan tromino. Andaikan pernyataan tersebut benar untuk k anggota N. Diberikan papan catur dengan ukuran 2k + 1 × 2k + 1 yang salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan. Bagilah papan catur tersebut menjadi 4 papan catur 2k × 2k A, B, C, dan D, dengan satu di antaranya, yaitu A, memiliki bagian yang salah satu persegi di pojok hilang. Tempatkan 1 tromino, T, di tengah-tengah papan catur 2k + 1 × 2k + 1 sedemikian sehingga persegi-persegi tromino tersebut berada di bagian B, C, dan D. Kemudian gunakan kasus n = k untuk menutup bagian A, B – T, C – T, dan D – T dengan tromino. Proses tersebut akan menutup papan catur 2k + 1 × 2k + 1 tepat sempurna dengan tromino-tromino. (Gambar di bawah ini mengilustrasikan untuk kasus n = 3).

Hubungan Prinsip Induksi Matematika

Hubungan prinsp induksi matematika tersebut dengan sebelumnya adalah dengan memisalkan S = {n anggota N | P(n) adalah benar}. Sehingga kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika di awal secara berturut-turut berkorespondensi dengan kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika terakhir. Selain itu, kesimpulan S = N juga berkorespondensi dengan kesimpulan P(n) benar untuk setiap nanggota N.

Asumsi bahwa “jika P(k) benar” dinamakan hipotesis induksi. Untuk membangun hipostesis 2, kita tidak perlu menghiraukan kebenaran dari P(k), tetapi yang perlu kita hiraukan adalah validitas dari “jika P(k), maka P(k + 1)”. Misalkan, jika kita akan menguji pernyataan P(n): “n = n + 5”, maka secara logis kondisi (2) adalah benar, dengan menambahkan 1 pada kedua sisi P(k) untuk mendapatkanP(k + 1). Akan tetapi, karena pernyataan P(1): “1 = 6” adalah salah, kita tidak dapat menggunakan Induksi Matematika untuk menyimpulkan bahwa n = n + 5 untuk setiap n anggota N.

Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematika

Adapun beberapa contoh dalam penggunaan induksi matematika berikut ini:

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5n− 1 dapat dibagi 4 untuk setiap   n = 1, 2, ….

jawab:

Adapun langkah-langkahnya yaitu:

1)      Akan ditunjukkan bahwa 5n − 1 habis dibagi 4 untuk n = 1. Maka 51− 1 = 5− 1 = 4 habis dibagi 4.

2)      Asumsikan bahwa 5n− 1 habis dibagi 4 untuk n = k, juga untuk n = k + 1,

5n− 1 = (5)k+1− 1 = [5.5k]− 1

                                  =[(1 + 4).5k]− 1

                                  = [5k +4.5k]−1

                                  = (5k− 1) + 4.5k

Karena n=k, maka jika k=1 akan berlaku,  n=k=1. Jadi,

 (5k− 1) + 4.5k = (51-1)+4.51

= (5-1)+4.5

= 4+20 = 24

Jadi, 24 dibagi 4 akan  bernilai 6

Berlaku pula n = k = 2. Jadi,

     (5k− 1) + 4.5k = (52-1)+4.52

     = (25-1)+4.25

     = 24+100 =124

Jadi, 124 dibagi 4 akan  bernilai 31

Buktikan 1+3+5+…+(2n-1)= n2

Jawab:

  1. Rumusnya benar untukn=1karena 1=12
  2. Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n=k ; yaitu kita misalkan bahwa1+3+5 +…+(2k-1)=k2.

maka rumus tersebut benar untuk n=k+1 (Catatan bahwa bilangan bulat positif ganjil ke-n adalah (2k – 1), karena bilangan bulat ini diperoleh dengan menambahkan 2 suatu total dari  k – 1 kali dengan 1.); yaitu bahwa 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2

     Dengan menambahkan (2k+1) pada kedua ruas, Sehingga mengasumsikan bahwa P(k) benar, ini mengikuti

1+3 + 5 +…+(2k – 1) + (2k + 1) = 1 + 3 +…+ (2k – 1) + (2k + 1)

 = k2 + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2.

Ini menunjukkan bahwa P(n + 1) mengikuti dari P(n). Catatan bahwa kita menggunakan hipotesis induktif P(n) dalam kesamaan kedua dengan menempatkan kembali jumlah dari n bilangan bulat positif ganjil pertama dengan n2.

Contoh soal pada  Jumlah n Bilangan Asli Pertama. Buktikan untuk setiap n anggota N, jumlah dari n bilangan asli pertama diberikan oleh rumus,

Bukti Kita akan mencoba membuktikan pernyataan di atas dengan Prinsip Induksi Matematika yang dibahas di awal. Misalkan S adalah himpunan yang memuat n anggota N sedemikian sehingga rumus di atas bernilai benar. Kita harus menguji apakah kondisi (1) dan (2) pada Prinsip Induksi Matematika terpenuhi. Jika n = 1, maka

1 =  ∙ 1 ∙ (1 + 1) sehingga 1 anggota S, dan kondisi (1) terpenuhi. Selanjutnya, andaikan k anggota S maka kita akan menunjukkan k + 1 juga akan menjadi anggota S. Jika k angota S, maka:

Jika kita menambahkan k + 1 pada persamaan di atas, maka akan diperoleh

Karena persamaan di atas merupakan pernyataan untuk n = k + 1, maka kita menyimpulkan bahwa k + 1 anggota S. Sehingga, kondisi (2) terpenuhi. Sebagai hasilnya, menurut Prinsip Induksi Matematika kita memperoleh bahwa S = N, atau dengan kata lain persamaan tersebut berlaku untuk semua bilangan asli.

  1. Karena P(1) benar dan implikasi P(n)  =  P(n +1)  benar untuk semua bilangan bulat positif  n, prinsip induksi matematis menunjukkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
  2. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:

f(n) = (1 x 2) + (2 x 3) + (3 x 4) + + n (n +  1) =  n (n + 1)(n + 2).

 Jawaban:

      Langkah 1:   f(n) => n (n +  1) =  n (n + 1)(n + 2).  Jika f(1), maka

=> 1 (1+1)     =  1 (1 + 1)(1 + 2)

=>1(2)           =    n (2)(3)

=> 2               = 2

Maka pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = 1.

     Langkah 2:

      Misalkan pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = k, yaitu:

f(k) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) =   .                            (persamaan 1)

    Maka akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, yaitu:

f(k + 1) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) =   (persamaan 2)

Dari persamaan 1 tadi, kita tambahkan (k + 1)(k + 2) pada kedua ruas, yaitu:

1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) =                              +(k + 1)(k + 2)

Persamaan terakhir ini sama dengan persamaan 2 di atas. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar untuk setiap bilangan asli n, dengan menggunakan induksi matematika.

Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2. Persamaan yang perlu dibuktikan: S(n)=1+3+5+⋯+2n−1=n2

                                      Jawab:

 Langkah pembuktian pertama:   untuk  =1, benar bahwa  S(1)=12=1

 Langkah pembuktian kedua:    andaikan benar untuk n=k, yaitu

S(k)=1+3+5+⋯+2k−1=k2, maka akan dibuktikan benar pula untuk n=k+1, yaitu

S(k+1)=1+3+5+⋯+2k−1+2(k+1)−1=(k+1)2

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k2=1+3+5+…+2k−1  sesuai dengan pengandaian awal [1+3+5+⋯+2k−1]+2(k+1)−1=k2+2(k+1)−1

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

k2+2k+1=(k+1)2, ingat bahwa (k+1)2=k2+2k+1

 (k+1)2=(k+1)2 (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian

contoh surat pengunduran diri dari serikat fspminaskah pidato jika saya menjadi presidencontoh draft arisan onlinejudul jurnal matdismakalah pola bilangan matematikamembuat naskah pidato apa bila saya menjadi presidenpdf promosi cuci tangan 6 langkahpidato jika saya jadi presidenpidato jika saya menjadi presiden
Pengertian Tentang Induksi Matematika | nagrak.com | 4.5
error: Content is protected !!